Archiwum listopad 2015


Blogi innych studentów
Autor: blodween
19 listopada 2015, 20:27
Układ równań liniowych
Autor: blodween
19 listopada 2015, 20:23

Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej)równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.
Teoria układów równań liniowych jest działem algebry liniowej leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. Algorytmami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany numeryczna algebra liniowa, same zaś metody odgrywają ważną rolę w inżynierii,fizyce, chemii, informatyce i ekonomii. Częstokroć aproksymuje (przybliża) się bardziej skomplikowane układy równań nieliniowych (opisujące modele matematyczne, czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. linearyzacja).
Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad ciałami (np. liczbami wymiernymi, rzeczywistymi, czy zespolonymi); choć ma to sens już w przypadkupierścieni (np. liczb całkowitych), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie modułów zamiast przestrzeni liniowych, zob. uogólnienia). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.

Niech \scriptstyle \mathrm U oznacza układ \scriptstyle m równań liniowych o \scriptstyle n niewiadomych, tzn.

\mathrm U\colon \begin{cases}\begin{matrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = b_1, \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = b_2, \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = b_m. \end{matrix}\end{cases}

Niech \scriptstyle 1 \leqslant i \leqslant m oraz \scriptstyle 1 \leqslant j \leqslant n. Wielkości \scriptstyle x_j nazywa się niewiadomymi (lub zmiennymi), liczby \scriptstyle a_{ij} nazywa się współczynnikami, zaś elementy \scriptstyle b_i to wyrazy wolne. Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru; inaczej mówiąc, wszystkie równania jednorodnego układu równań liniowych są jednorodne.

Układ \scriptstyle \mathrm U można zapisać jako równanie wektorowe

[x_1 a_{11} + \dots + x_n a_{1n},\ \dots,\ x_1 a_{m1} + \dots + x_n a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],

które można przedstawić w postaci

x_1[a_{11}, \dots, a_{m1}] + \dots + x_n[a_{1n}, \dots, a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],

dzięki czemu każda niewiadoma może być postrzegana jako współczynnik kombinacji liniowej wektorów \scriptstyle \mathbf a_j = [a_{1j}, \dots, a_{mj}], tzn.

x_1 \mathbf a_1 + x_2 \mathbf a_2 + \dots + x_n \mathbf a_n = \mathbf b,

gdzie \scriptstyle \mathbf b = [b_1, b_2, \dots, b_m] nazywa się w tym kontekście wektorem wyrazów wolnych, zaś \scriptstyle \mathbf x = [x_1, x_2, \dots, x_n] to wektor zmiennych (zob. uogólnienia).

Korzystając z notacji macierzowej układ \scriptstyle \mathrm U można przedstawić w postaci

\begin{bmatrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix},

co, przy pomocy standardowego mnożenia macierzy, można zapisać w formie

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}.


Innymi słowy dowolny układ \scriptstyle \mathrm U można traktować jak macierzowe równanie liniowe

Test - Granica i ciągłość funkcji
Autor: blodween
19 listopada 2015, 20:20
Funkcja \displaystyle \displaystyle f\colon\bigg[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg]\longrightarrow \mathbb{R} określona wzorem \displaystyle \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{x}{\sin x} & \textrm{dla} & x\neq 0\\ 1 & \textrm{dla} & x=0 \end{array} \right.
 jest ciągła dla wszystkich \displaystyle \displaystyle x\in\bigg[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg] Dobrze
 jest ciągła w \displaystyle x=0 Dobrze
 nie jest ciągła
 

Granica \displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}(1+3x^2)^{\frac{1}{x^2}} jest równa
 \displaystyle 0
 \displaystyle 1
 \displaystyle e^3 Dobrze
 

Dana jest funkcja \displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ciągła i taka, że \displaystyle f(1)0 i \displaystyle f(2)0. Wtedy prawdą jest, że
 funkcja \displaystyle f nie ma pierwiastków w przedziale \displaystyle \displaystyle [1,2]
 funkcja \displaystyle f może mieć dokładnie jeden pierwiastek w przedziale \displaystyle \displaystyle [1,2] Dobrze
 funkcja \displaystyle f może mieć więcej niż jeden pierwiastek w przedziale \displaystyle \displaystyle [1,2] Dobrze
 

Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} w nieskończoności
 ma granicę równą \displaystyle 1
 ma granicę równą \displaystyle 0 Dobrze
 nie ma granicy
 

Niech \displaystyle \displaystyle a=\lim_{x\to 0^+}e^{-\frac{1}{x}},\displaystyle b=\lim_{x\to 0^-}e^{-\frac{1}{x}}. Wtedy
 \displaystyle a=0,\displaystyle b=+\infty Dobrze
 \displaystyle a=0,\displaystyle b=-\infty
 \displaystyle a=+\infty,\displaystyle b=+\infty
 

Granica \displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^3)}{x^3} jest równa
 \displaystyle +\infty
 \displaystyle 0
 \displaystyle 1 Dobrze
Macierze
Autor: blodween
19 listopada 2015, 20:17

Macierz – układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

Po więcej informacji zapraszam na:
Macierz- WIKI
Macierz_ikona

ZADANIA
Ark5

Granica funkcji
Autor: blodween
19 listopada 2015, 20:15

 

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przezAugustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Definicja 1.Punkt x0 jest punktem skupienia zbioru liczbowego X, jeżeli dowolnie blisko x0 znajduje się nieskończenie wiele liczb ze zbioru X.

Definicja 2.Otoczeniem U(x0;r) punktu x0 nazywamy przedział otwarty (x0−r,x0+r) o środku w punkcie x0.
Definicja 3.Punkt x0 jest punktem skupienia zbioru X, jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu x0 istnieje nieskończenie wiele wartości z X.


Jeśli funkcje f i g, określone na zbiorze A \subseteq \mathbb R, mają granice właściwe \lim_{x \to x_0}~f(x) = a i \lim_{x \to x_0}~g(x) = b, to:
\lim_{x \to x_0}~(f(x) \pm g(x)) = a \pm b, \lim_{x \to x_0}~(f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b}, gdy g(x) \ne 0 oraz b \ne 0.