Układ równań liniowych, Analiza matematyczna

Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej)równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.
Teoria układów równań liniowych jest działem algebry liniowej leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. Algorytmami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany numeryczna algebra liniowa, same zaś metody odgrywają ważną rolę w inżynierii,fizyce, chemii, informatyce i ekonomii. Częstokroć aproksymuje (przybliża) się bardziej skomplikowane układy równań nieliniowych (opisujące modele matematyczne, czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. linearyzacja).
Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad ciałami (np. liczbami wymiernymi, rzeczywistymi, czy zespolonymi); choć ma to sens już w przypadkupierścieni (np. liczb całkowitych), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie modułów zamiast przestrzeni liniowych, zob. uogólnienia). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.

Niech $\scriptstyle \mathrm U$ oznacza układ $\scriptstyle m$ równań liniowych o $\scriptstyle n$ niewiadomych, tzn.

\mathrm U\colon \begin{cases}\begin{matrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = b_1, \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = b_2, \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = b_m. \end{matrix}\end{cases}

Niech $\scriptstyle 1 \leqslant i \leqslant m$ oraz $\scriptstyle 1 \leqslant j \leqslant n.$ Wielkości $\scriptstyle x_j$ nazywa się niewiadomymi (lub zmiennymi), liczby $\scriptstyle a_{ij}$ nazywa się współczynnikami, zaś elementy $\scriptstyle b_i$ to wyrazy wolne. Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru; inaczej mówiąc, wszystkie równania jednorodnego układu równań liniowych są jednorodne.

Układ $\scriptstyle \mathrm U$ można zapisać jako równanie wektorowe

[x_1 a_{11} + \dots + x_n a_{1n},\ \dots,\ x_1 a_{m1} + \dots + x_n a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],

które można przedstawić w postaci

x_1[a_{11}, \dots, a_{m1}] + \dots + x_n[a_{1n}, \dots, a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],

dzięki czemu każda niewiadoma może być postrzegana jako współczynnik kombinacji liniowej wektorów $\scriptstyle \mathbf a_j = [a_{1j}, \dots, a_{mj}],$ tzn.

x_1 \mathbf a_1 + x_2 \mathbf a_2 + \dots + x_n \mathbf a_n = \mathbf b,

gdzie $\scriptstyle \mathbf b = [b_1, b_2, \dots, b_m]$ nazywa się w tym kontekście wektorem wyrazów wolnych, zaś $\scriptstyle \mathbf x = [x_1, x_2, \dots, x_n]$ to wektor zmiennych (zob. uogólnienia).

Korzystając z notacji macierzowej układ $\scriptstyle \mathrm U$ można przedstawić w postaci

\begin{bmatrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix},

co, przy pomocy standardowego mnożenia macierzy, można zapisać w formie

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}.

Innymi słowy dowolny układ $\scriptstyle \mathrm U$ można traktować jak macierzowe równanie liniowe

Analiza matematyczna

Strona główna

Układ równań liniowych

Dodaj komentarz