Ostatnie Wpisy

Algebra Banacha

Autor: blodween | Kategorie:
Tagi:
04. grudnia 2015 18:01:00

Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek

\|x\cdot y\| \leqslant \|x\| \|y\|

dla wszystkich jej elementów x,y. Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie sązupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

W ogólnym przypadku, algebra nad ciałem liczb zespolonych może nie mieć jedynki – skrajnym przykładem jest dowolnaprzestrzeń liniowa A z mnożeniem określonym wzorem xy = 0 dla dowolnych x, y \in A (jeżeli A jest przestrzenią Banacha, to jest ona przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana – tzn. nie istnieje ciąg (e_n)_{n\in \mathbb{N}} o wyrazach z przestrzeni A o tej własności, że \|e_n\|=1 dla każdej liczby naturalnej n oraz

\lim_{n \to \infty}~\|e_n \cdot a - a\| = \lim_{n\to\infty}~\|a \cdot e_n - a\| = 0,\; a\in A.

Pojęcie algebry Banacha wprowadził w 1936 roku Mitio Nagumo[1].

Własności wyznaczników

Autor: blodween | Kategorie:
Tagi:
04. grudnia 2015 17:58:00

- wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy wyjściowej,
- jeżeli macierz posiada wiersz zerowy (kolumnę zerową), wówczas detA = 0,
- jeżeli macierz posiada dwa identyczne wiersze (kolumny), wówczas detA = 0,
- jeżeli jakiś wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn), wówczas detA = 0,
- zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika,
- jeżeli w danej macierzy elementy danego wiersza lub kolumny zostaną przemnożone przez dowolną liczbę k ≠ 0, wówczas wartość wyznacznika również zostanie przemnożona przez k,
- zachodzi równość det(A · B) = detA · detB

Wyznacznik macierzy

Autor: blodween | Kategorie:
Tagi:
04. grudnia 2015 17:55:00

Teorię wyznaczników zapoczątkował problem znalezienia ogólnego wzoru na rozwiązanie układu n równań liniowych o nniewiadomych. Wzory te zostały podane w XVIII wieku przez Cramera. Teoria wyznaczników została rozwinięta w XIX wieku, zwłaszcza w pracach Laplace'a, Cauchy'ego i Jacobiego.

Wyznacznik macierzy to funkcja określona na macierzach kwadratowych związana z mnożeniem i dodawaniem odpowiednich elementów danej macierzy tak, by otrzymać pojedynczą liczbę. Inaczej mówiąc wyznacznik macierzy jest to liczba rzeczywista przyporządkowana macierzy kwadratowej. Wyznacznik oznaczamy symbolicznie detA lub |A|.

 

Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnia n.

Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorowanie, które danej macierzy A = n×n przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą detA.

Jeśli macierz jest stopnia n = 1, to jej wyznacznik detA = a11.
Jeśli stopień macierzy jest większy niż 1, to jej wyznacznik obliczamy według następującego wzoru: 
detA = i=1n(1)i+jaijdetMij
gdzie detMij oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

 

Wartość wyznacznika macierzy n×n, możemy obliczyć ze wzoru: 
detA = ∑ sgn(i1i2, ..., inai11ai22...ainn ,
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje (i1i2, ..., in) zbioru {1, 2, ..., n}.

W iloczynie ai11ai22...a inn występuje dokładnie jeden czynnik z każdego wiersza, mianowicie element ai11 z pierwszego wiersza, z drugiego wiersza element ai22 itd. Ponieważ sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje zbioru {1, 2, ...,n}, więc każda z liczb występuje raz i tylko raz. Oznacza to, że w iloczynie ai11ai22...a inn występuje dokładnie jeden czynnik z każdej kolumny.
Dodajemy teraz wszystkie wyrażenia utworzone dla wszystkich permutacji i otrzymujemy pewną liczbę. W ten sposób została określona funkcja, która macierzom kwadratowym przypisuje liczby zwane wyznacznikiem macierzy.
Ponieważ istnieje n! (n silnia) permutacji n elementów, więc podana definicja określa wyznacznik macierzy stopnia n jako sumę n! składników.


Z definicji wynikają bezpośrednio następujące rozwinięcia wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego

dla n = 2    a11a21a12a22=a11a22a21a12 

dla n = 3    a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31

Dla n = 3 istnieje dokładnie 3! = 6 permutacji, a mianowicie
123, 231, 312, 132, 213, 321
Wypisanym sześciu permutacjom odpowiada sześć składników:
a11a22a33, + a12a23a31, + a13a21a32, - a11a23a32, - a12a21a33, - a13a22a31
Dodając te wyrazy otrzymujemy powyższy wzór.

Istnieje prosty sposób mnemotechniczny zapamiętywania budowy wyznaczników stopnia 3, zwany regułą Sarrusa. Dopisujemy z prawej strony raz jeszcze pierwszą i drugą kolumnę i następnie tworzymy iloczyny ze znakami według następującego schematu:
reguła sarrusa

Dla macierzy stopnia czwartego i wyższych obliczanie wyznaczników bezpośrednio z definicji jest na ogół uciążliwe. Wygodnie jest wówczas stosować rozwinięcie Laplace'a.

Blogi innych studentów

Autor: blodween | Kategorie:
Tagi:
19. listopada 2015 20:27:00

Układ równań liniowych

Autor: blodween | Kategorie:
Tagi:
19. listopada 2015 20:23:00

Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej)równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.
Teoria układów równań liniowych jest działem algebry liniowej leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. Algorytmami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany numeryczna algebra liniowa, same zaś metody odgrywają ważną rolę w inżynierii,fizycechemiiinformatyce i ekonomii. Częstokroć aproksymuje (przybliża) się bardziej skomplikowane układy równań nieliniowych (opisujące modele matematyczne, czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. linearyzacja).
Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad ciałami (np. liczbami wymiernymirzeczywistymi, czy zespolonymi); choć ma to sens już w przypadkupierścieni (np. liczb całkowitych), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie modułów zamiast przestrzeni liniowych, zob. uogólnienia). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.

Niech \scriptstyle \mathrm U oznacza układ \scriptstyle m równań liniowych o \scriptstyle n niewiadomych, tzn.

\mathrm U\colon \begin{cases}\begin{matrix}
  a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + &  \dots & + & a_{1n} x_n & = b_1, \\
  a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + &  \dots & + & a_{2n} x_n & = b_2, \\
    \vdots   &   &   \vdots   &   & \ddots &   &   \vdots   & \vdots \\
  a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + &  \dots & + & a_{mn} x_n & = b_m.
\end{matrix}\end{cases}

Niech \scriptstyle 1 \leqslant i \leqslant m oraz \scriptstyle 1 \leqslant j \leqslant n. Wielkości \scriptstyle x_j nazywa się niewiadomymi (lub zmiennymi), liczby \scriptstyle a_{ij} nazywa się współczynnikami, zaś elementy \scriptstyle b_i to wyrazy wolne. Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru; inaczej mówiąc, wszystkie równania jednorodnego układu równań liniowych są jednorodne.

Układ \scriptstyle \mathrm U można zapisać jako równanie wektorowe

[x_1 a_{11} + \dots + x_n a_{1n},\ \dots,\ x_1 a_{m1} + \dots + x_n a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],

które można przedstawić w postaci

x_1[a_{11}, \dots, a_{m1}] + \dots + x_n[a_{1n}, \dots, a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],

dzięki czemu każda niewiadoma może być postrzegana jako współczynnik kombinacji liniowej wektorów \scriptstyle \mathbf a_j = [a_{1j}, \dots, a_{mj}], tzn.

x_1 \mathbf a_1 + x_2 \mathbf a_2 + \dots + x_n \mathbf a_n = \mathbf b,

gdzie \scriptstyle \mathbf b = [b_1, b_2, \dots, b_m] nazywa się w tym kontekście wektorem wyrazów wolnych, zaś \scriptstyle \mathbf x = [x_1, x_2, \dots, x_n] to wektor zmiennych (zob. uogólnienia).

Korzystając z notacji macierzowej układ \scriptstyle \mathrm U można przedstawić w postaci

\begin{bmatrix}
  a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + &  \dots & + & a_{1n} x_n \\
  a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + &  \dots & + & a_{2n} x_n \\
    \vdots   &   &   \vdots   &   & \ddots &   &   \vdots   \\
  a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + &  \dots & + & a_{mn} x_n
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix},

co, przy pomocy standardowego mnożenia macierzy, można zapisać w formie

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}.


Innymi słowy dowolny układ \scriptstyle \mathrm U można traktować jak macierzowe równanie liniowe

Kalendarz

pn wt sr cz pt so nd
30123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031123

Ksiega gości

Księga gości

Kategorie postow

Brak kategorii

fabryka-rzeczy-niemozliwych | robaczek-na-ziemi | mointkruszexmad5t | mojbloguskochany | geneza-capoeiry | Mailing